2 Probabilidades

Experimento aleatorio: Proceso del cual no sabemos el resultado a menos que este experimento se realice.
Espacio muestral: Colección de los resultados posibles

\[\Omega\] + Evento: es un sub conjunto del espacio muestral. (\(E\))

\[E \subset \Omega\]

Probabilidad: Es una función que otorga una medida (número) a los distintos eventos del espacio muestral.

\[Pr(E)=\#\] ## Axiomas de la probabilidad

Sea \(E\) un evento de \(\Omega\), entonces:

\[0\leq Pr(E) \leq 1\] \[Pr(\Omega)=1\] Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces:

\[Pr(E_i \cup E_j)=Pr(E_i)+Pr(E_j)\] ## Concepto de probabilidad

Probabilidad teórica

\[Pr(E)=\frac{\#E}{\#\Omega}=\frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos Totales}}\]

Probabilidad frecuentista

\[Pr(E)=lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\#E}{n}=\frac{\text{Número de éxitos}}{\text{Total de ensayos}}\]

Ejercicio: Sea el experimento aleatorio, la nota final de un estudiante en estadística. Se pide: + Presentar el espacio muestral + Calcular la probabilidad que el estudiante obtenga una nota menor a 20 + Calcular la probabilidad que el estudiante apruebe la materia

Solución,

\[\Omega=\{x \in \mathbb Z, 0\leq x \leq 100 \}\] \[Pr(\text{nota sea menor a 20})=\frac{20}{101}=0.198\] \[E=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19\}\] \[Pr(Aprobar)=\frac{50}{101}=0.495\] > Ejercicio: Sea el experimento aleatorio lanzar dos dados, se pide calcular: - La probabilidad de que la suma de los dados sea igual a 12 - La probabilidad de que la suma de los dados sea 1 - La probabilidad de que la suma sea 7

\[Pr(12)=\frac{1}{36}=0.028\] \[Pr(1)=\frac{0}{36}=0\] \[Pr(7)=\frac{6}{36}=0.167\] ## Variable aleatoria

Es una función que otorga un número a los eventos del espacio muestral, esto, según la definición que se de para la variable aleatoria.

Por ejemplo: Sea el experimento aleatorio, lanzar dos monedas, y definamos la variable aleatoria como el número de caras obtenidas.

\[\Omega=\{CC,CS,SC,SS\}\] \[X=\{2,1,1,0\}\]
Una variable aleatoria tiene su dominio o recorrido en función de los valores que puede tomar.

Por ejemplo para el caso de las monedas:

\[R_x=\{0,1,2\}\] Una variable aleatoria tiene su distribución de probabilidad, esto significa, que los valores del recorrido de la variable tienen asociada una probabilidad.

\[\sum_{Rx}Pr(X=x_i)=1\] Ejemplo: Sea la variable aleatoria la suma de dos dados, establecer la distribución de probabilidades.

Al igual que en el anterior tema, si bien es cierto sabemos los posibles resultados y sus probabilidades sería muy útil conocer el valor más esperado (promedio/mediana/moda). A este concepto en probabilidades se le conoce como la Esperanza de la variable aleatoria, esta se define como:

\[E[X]=\sum_{Rx} x*Pr(X=x)\] ## Distribución Binomial

Tiene el objetivo de modelar la cantidad de éxitos en varios experimentos (n) Bernoulli. La forma de la distribución de probabilidades de la Binomial queda como:

\[Pr(X=x)={n \choose x} p^x (1-p)^{n-x}\] Donde \(p\) representa la probabilidad de éxito y \(n\) representa la cantidad de experimentos Bernoullis. Así, la variable aleatoria es \(x\) que tiene un recorrido definido por:

\[Rx=\{0,1,2,3,\ldots,n\}\] > Problema: Se realizaron 8 pruebas a canes con la finalidad de detectar si tienen rabia o no. Se sabe que la probabilidad de tener rabia en una determinada población de canes es de 3/10. Construya la tabla de probabilidades para la variable aleatoria: Número de canes con rabia.

Solución, se recomienda iniciar identificando la información disponible. \(n=8\), \(p=\frac{3}{10}\), \(Rx=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}\)

\[Pr(X=x)={8 \choose x} 0.3^x 0.7^{8-x}\] \[Pr(X=0)={8 \choose 0} 0.3^0 0.7^{8-0}=\frac{8!}{(8-0)!0!}=0.3^0 0.7^{8-0}=\] \[=\frac{8!}{8!}1*0.7^8=0.05764801\approx 0.058\] \[Pr(X=1)={8 \choose 1} 0.3^1 0.7^{8-1}=0.198\]

\[Pr(X=2)={8 \choose 2} 0.3^2 0.7^{8-2}=0.296\] \[Pr(X=3)={8 \choose 3} 0.3^3 0.7^{8-3}=0.254\] > Problema: Un examen tiene 6 preguntas de elección múltiple. Cada una de las preguntas tiene 5 opciones, donde solo 1 es la correcta. Un estudiante se propone adivinar las respuestas y marcar de forma aleatoria las preguntas del examen. ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante falle en todas las preguntas?, ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante responda de forma correcta todas las preguntas?, finalmente; calcular el valor esperado de preguntas correctas.

Solución, el experimento Bernoulli es marcar la respuesta al azar en una determinada pregunta. \(n=6\), \(p=\frac{1}{5}\). Así la variable aleatoria lo podemos definir como la cantidad de aciertos en las preguntas.

\[Pr(X=x)={6 \choose x} 0.2^x 0.8^{6-x}\]

\[Pr(X=0)={6 \choose 0} 0.2^0 0.8^{6-0}=1*1*0.8^6=0.2621\]

\[Pr(X=6)={6 \choose 6} 0.2^6 0.8^{6-6}=1*0.2^6*0.8^0=0.000064\] Ahora el valor esperado, para esto podemos usar una propiedad de la distribución Binomial que dice:

\[E[X]=\sum_{Rx}xPr(X=x)= n*p\] Entonces, para el ejercicio:

\[E[X]=n*p=6*0.2=1.2\] ## Distribución Normal