4 Herramientas estadísticas
Recordar los pasos en las pruebas de hipótesis
- Formular Hipótesis (\(H_0\) y \(H_a\))
- Establecer Nivel de Significación (\(\alpha\))
- Construir el Estadístico de Prueba
- Evaluar y Concluir
El p-valor es una medida que permite evaluar la evidencia en contra de una hipótesis nula. Representa la probabilidad de obtener un resultado tan extremo (o más) que el observado, asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. Un p-valor pequeño indica que los datos son poco compatibles con la hipótesis nula y sugiere evidencia a favor de la alternativa.
4.1 Análisis de datos categóricos: prueba \(\chi^2\)
Cuando las variables son categóricas (nominales u ordinales), la información se resume en términos de frecuencias.
La prueba chi-cuadrado (\(\chi^2\)) permite evaluar si las frecuencias observadas difieren de las que esperaríamos bajo una hipótesis teórica.
Es una de las herramientas más utilizadas en psicología para analizar respuestas en categorías o preferencias (Navarro et al. 2025).
4.1.1 Prueba de bondad de ajuste
Evalúa si las frecuencias observadas en una variable categórica se ajustan a un modelo teórico o distribución esperada.
- Hipótesis
\[ H_0: \text{Las frecuencias observadas se ajustan a las frecuencias esperadas.}\\ H_1: \text{Las frecuencias observadas difieren significativamente de las esperadas.} \]
- Estadístico
\[ \chi^2_0 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \]
donde:
- \(O_i\): frecuencia observada,
- \(E_i\): frecuencia esperada bajo \(H_0\),
- \(k\): número de categorías.
Los grados de libertad se calculan como \(gl = k - 1\).
El valor de \(\chi^2\) se compara con la distribución chi-cuadrado con esos grados de libertad.
- Decisión
Se rechaza la H0 si:
\[\chi^2_0> \chi^2_{\alpha, k-1}\]
4.1.1.1 Ejemplo
Un psicólogo evalúa si las preferencias por cuatro tipos de música (pop, rock, clásica, jazz) se distribuyen uniformemente.
Las frecuencias observadas son (30, 25, 20, 25) y las esperadas, si no hubiera preferencia, serían iguales (25 cada una):
\[ \chi^2 = \frac{(30-25)^2}{25} + \frac{(25-25)^2}{25} + \frac{(20-25)^2}{25} + \frac{(25-25)^2}{25} = 2 \]
Con \(gl = 3\) y \(\alpha = 0.05\), el valor crítico es 7.815.
Como 2 < 7.815, no se rechaza \(H_0\) → no hay evidencia de diferencia significativa en las preferencias.
Usando el p-valor (JASP)
Si \(p < \alpha\), se concluye que las frecuencias no se ajustan al modelo teórico.
Si \(p \ge \alpha\), las diferencias observadas son compatibles con la hipótesis nula.
La prueba evalúa el grado de ajuste, no la dirección del efecto (Navarro et al. 2025).
4.1.2 Prueba de independencia
Evalúa si dos variables categóricas están asociadas o son independientes.
Se trabaja con una tabla de contingencia de tamaño \(r \times c\).
- Hipótesis
\[ H_0: \text{Las variables son independientes.}\\ H_1: \text{Existe asociación entre las variables.} \]
- Estadístico de Prueba
\[ \chi^2_0 = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \] Donde
\[ E_{ij} = \frac{(F_{i\cdot})(F_{\cdot j})}{n} \]
donde \(F_{i\cdot}\) y \(F_{\cdot j}\) son los totales marginales por fila y columna, respectivamente, y \(n\) es el total general.
Los grados de libertad son: \(gl = (r-1)(c-1)\)
- Decisión
Se rechaza H0 si:
\[\chi^2_0> \chi^2_{\alpha, (r-1)(c-1)}\]
4.1.2.1 Ejemplo
Se evalúa si el género (hombre/mujer) está asociado con la preferencia de horario (mañana/tarde) en 100 estudiantes:
| Mañana | Tarde | Total | |
|---|---|---|---|
| Hombre | 20 | 30 | 50 |
| Mujer | 10 | 40 | 50 |
| Total | 30 | 70 | 100 |
Frecuencia esperada para la celda (Hombre, Mañana):
\[ E_{11} = \frac{(50)(30)}{100} = 15 \]
El estadístico \(\chi^2\) calculado es 6.67 con \(gl = 1\). El valor crítico a \(\alpha = 0.05\) es 3.84 → se rechaza \(H_0\), concluyendo que el género y la preferencia de horario están asociados.
4.1.3 Consideraciones y recomendaciones prácticas
- Cada frecuencia esperada debe ser al menos 5 para la validez de la prueba.
- En tablas 2×2 puede aplicarse la corrección de continuidad de Yates.
- Si hay celdas pequeñas, se puede usar la prueba exacta de Fisher.
- La prueba \(\chi^2\) no indica la magnitud de la asociación, solo su existencia.
- Para cuantificarla, se pueden usar medidas derivadas como el V de Cramer o el coeficiente de contingencia (C).
Ejemplo interpretativo:
En un estudio sobre estilos de afrontamiento y género, se obtiene \(\chi^2(2) = 10.5\), p < .01.
Esto sugiere una relación significativa entre el género y el estilo de afrontamiento.
4.1.4 Resumen comparativo
| Tipo de prueba | Propósito principal | Hipótesis nula (\(H_0\)) | Grados de libertad | Ejemplo típico |
|---|---|---|---|---|
| Bondad de ajuste | Contrastar una distribución observada con una esperada | Los datos siguen la distribución teórica | \(k - 1\) | Preferencia por tipos de música |
| Independencia | Evaluar asociación entre dos variables categóricas | Las variables son independientes | \((r-1)(c-1)\) | Asociación entre género y estilo de afrontamiento |
La prueba \(\chi^2\) es una herramienta flexible y esencial para el análisis de datos categóricos.
Su interpretación debe complementarse con medidas de tamaño del efecto y con la inspección de las tablas de contingencia (Navarro et al. 2025; Moore et al. 2013).
Nota: Cramér’s V
Mide el nivel de asociación entre dos variables cualitativas.
\[V=\sqrt{\frac{\chi^2_0}{n*(k-1)}}\]
Donde \(k\) es el mínimo entre el número de clases de la variable fila y la variable columna. Sobre la lectura:
- Si \(V\rightarrow 0\) Asociación débil
- Si \(V\rightarrow 1\) Asociación fuerte
4.2 Comparación de dos medias: pruebas z, t y no paramétricas
En investigación psicológica y social es común comparar las medias de dos grupos o condiciones (por ejemplo, comparar niveles de ansiedad entre hombres y mujeres, o antes y después de una intervención).
El objetivo es determinar si las diferencias observadas reflejan una diferencia real en la población o son producto del azar (Navarro et al. 2025; Moore et al. 2013).
Las tres pruebas más comunes son:
- z-test → cuando se conoce la varianza poblacional (caso teórico).
- t-test → cuando la varianza poblacional es desconocida (caso real).
- Pruebas no paramétricas → cuando los datos no cumplen los supuestos de normalidad o escala de intervalo.
4.2.1 Prueba z para dos medias (caso teórico)
Se aplica cuando:
- la variable es cuantitativa continua,
- las observaciones son independientes,
- y se conocen las desviaciones estándar poblacionales.
4.2.1.2 Estadístico
\[ z_0 = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \]
El estadístico \(z_0\) sigue una distribución normal estándar \(N(0,1)\).
4.2.1.3 Ejemplo
Un investigador quiere comparar los tiempos de reacción de dos grupos de participantes en una tarea cognitiva.
Si las medias son 520 ms y 540 ms, con desviaciones poblacionales conocidas de 50 y 60 ms, y n=30 por grupo:
\[ z_0 = \frac{520 - 540}{\sqrt{\frac{50^2}{30} + \frac{60^2}{30}}} = -1.44 \]
Como \(|z_0| = 1.44 < 1.96\), no se rechaza \(H_0\) (no hay evidencia suficiente de diferencia significativa).
4.2.2 Prueba t para dos medias
En la práctica, las varianzas poblacionales no son conocidas, por lo que se emplea la distribución t de Student.
Existen dos tipos principales:
- t para muestras independientes
- t para muestras relacionadas (dependientes o pareadas)
4.2.2.1 t para muestras independientes
Se aplica cuando se comparan dos grupos distintos.
Hipótesis:
\[ H_0: \mu_1 = \mu_2 \quad \text{vs.} \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2 \]
Estadístico:
\[ t = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \]
donde \(s_p\) es la desviación estándar combinada:
\[ s_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}} \]
Grados de libertad: \(gl = n_1 + n_2 - 2\)
Ejemplo:
En un estudio sobre estrés académico, dos grupos de estudiantes (n=25 cada uno) obtienen medias de 35.4 y 40.1 puntos, con desviaciones estándar de 8.2 y 7.6.
\[ t = \frac{35.4 - 40.1}{\sqrt{\frac{(8.2^2 + 7.6^2)}{2} \cdot (\frac{1}{25} + \frac{1}{25})}} = -2.13 \]
Con \(gl = 48\) y \(\alpha = 0.05\), el valor crítico es ±2.01 →
se rechaza \(H_0\) → diferencia significativa de estrés entre grupos.
4.2.2.2 t para muestras relacionadas
Se aplica cuando las observaciones provienen de los mismos participantes medidos dos veces (pretest–postest, condiciones A/B).
Hipótesis:
\[ H_0: \mu_D = 0 \]
donde \(\mu_D\) es la media de las diferencias.
Estadístico:
\[ t = \frac{\bar{D}}{s_D / \sqrt{n}} \]
Ejemplo:
Un grupo de 20 personas completa un test de ansiedad antes y después de una intervención.
La media de las diferencias (pre–post) es 4.2 con \(s_D = 6.0\).
\[ t = \frac{4.2}{6.0/\sqrt{20}} = 3.13 \]
Con \(gl = 19\), el valor crítico a \(\alpha = 0.05\) (bilateral) es 2.09 →
se rechaza \(H_0\), indicando una reducción significativa en ansiedad.
4.2.3 Supuestos de las pruebas t
- Escala de intervalo o razón.
- Normalidad de la variable en cada grupo.
- Homogeneidad de varianzas (para muestras independientes).
- Independencia entre observaciones.
Cuando alguno de estos supuestos no se cumple, se recurre a pruebas no paramétricas.
4.2.4 Pruebas no paramétricas equivalentes
Las pruebas no paramétricas no requieren normalidad ni homocedasticidad, y se aplican sobre rangos o signos.
| Tipo de comparación | Prueba paramétrica | Prueba no paramétrica | Variable | Ejemplo psicológico |
|---|---|---|---|---|
| Dos grupos independientes | t de Student | Mann–Whitney U | Ordinal / No normal | Comparar puntajes de ansiedad entre grupos experimentales |
| Dos grupos relacionados | t pareada | Wilcoxon de rangos con signo | Ordinal / No normal | Evaluar cambio pre–post en autoeficacia |
Ejemplo:
En un estudio sobre satisfacción laboral antes y después de una capacitación (escala ordinal), se aplica la prueba de Wilcoxon:
\(W = 15\), p = .02 → diferencia significativa entre las mediciones.
4.2.5 Interpretación y tamaño del efecto
La significación estadística indica si la diferencia es real,
pero no informa sobre su magnitud.
Por ello se recomienda reportar siempre el tamaño del efecto.
4.2.5.1 d de Cohen
\[ d = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_p} \]
Interpretación general (Cohen 1994):
| d | Magnitud del efecto |
|---|---|
| 0.2 | Pequeño |
| 0.5 | Mediano |
| 0.8 | Grande |
Nota: Para la interpretación de la magnitut no tomar en cuenta el signo. El signo sirve para evaluar la dirección de la relación, si es positivo el grupo 1 es mayor al grupo 2 y si es negativo lo opuesto (grupo 2 > grupo 1)
Ejemplo:
Si \(\bar{X}_1 - \bar{X}_2 = 5\) y \(s_p = 10\), entonces \(d = 0.5\) → efecto moderado.
Notas:
Las pruebas z, t y sus equivalentes no paramétricas permiten contrastar diferencias entre medias bajo distintos supuestos.
En psicología y ciencias sociales, su interpretación debe acompañarse del p-valor, el tamaño del efecto (d) y, cuando sea posible, un intervalo de confianza para la diferencia (Navarro et al. 2025; Cohen 1994).
4.3 Correlación y regresión lineal
La correlación y la regresión lineal permiten cuantificar y modelar la relación entre dos variables cuantitativas.
En psicología son herramientas fundamentales para analizar vínculos entre constructos tales como ansiedad y rendimiento, estrés y calidad del sueño, o autoeficacia y desempeño académico (Navarro et al. 2025).
4.3.1 Correlación de Pearson (r)
La correlación lineal de Pearson mide la fuerza y dirección de una asociación lineal entre dos variables:
\[ r = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X_i - \bar{X})^2 \sum (Y_i - \bar{Y})^2}} \]
Valores:
| r | Interpretación |
|---|---|
| 0 | Sin relación lineal |
| ±0.1 | Débil |
| ±0.3 | Moderada |
| ±0.5 o más | Fuerte |
Ejemplo: Relación entre ansiedad y calidad del sueño:
r = −0.42 → asociación negativa moderada.
4.3.2 Correlación no paramétrica: Spearman (ρ)
Se usa cuando:
- los datos son ordinales,
- existen valores atípicos,
- la relación no es lineal.
Se basa en rangos, no en valores crudos.
4.3.3 Regresión lineal simple
La regresión lineal modela cómo cambia una variable dependiente \(Y\) cuando cambia una variable predictora \(X\).
\[ Y = \beta_0 + \beta_1X + \epsilon \]
- \(\beta_0\): intercepto
- \(\beta_1\): efecto esperado en \(Y\) por unidad de cambio en \(X\)
- \(\epsilon\): error aleatorio
Interpretación típica:
Si β₁ = −0.60 en un modelo donde Y = calidad del sueño y X = estrés,
entonces por cada punto adicional de estrés, la calidad del sueño disminuye 0.60 puntos.
4.4 Comparar varias medias: ANOVA de una vía
El ANOVA de una vía (one-way ANOVA) evalúa si tres o más grupos difieren en su media poblacional (Navarro et al. 2025).
Ejemplos en psicología:
- Diferencias en depresión según tipo de terapia
- Comparación de memoria según grupo etario
- Diferencias en motivación por niveles educativos
4.4.1 Hipótesis
\[ H_0: \mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_k \] \[ H_1: \text{Al menos una media difiere} \]
4.4.2 Lógica del ANOVA
ANOVA compara:
- Variabilidad entre grupos (debida al efecto del factor)
- Variabilidad dentro de los grupos (debida al error/azar)
El estadístico es:
\[ F = \frac{\text{MS}_{\text{entre}}}{\text{MS}_{\text{dentro}}} \]
Si F es grande → evidencia contra \(H_0\).
4.4.3 Ejemplo
Tres métodos de relajación se comparan en 60 participantes.
ANOVA arroja:
- F(2, 57) = 4.91
- p = 0.011 → significativo
- η² = 0.15 → efecto moderado
Esto indica que los métodos difieren en su efecto sobre el nivel de estrés.
4.4.4 Pruebas post hoc
Si el ANOVA es significativo:
- Tukey HSD
- Bonferroni
- Holm
Permiten identificar qué grupos difieren entre sí.
4.4.5 Supuestos
- Independencia
- Normalidad dentro de cada grupo
- Homogeneidad de varianzas (Levene)